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8月 9, 2022 No Comments

**欧氏几何**欧氏几何是把认识停留在平面上了,所研究的范围是绝对的平的问题,认为人生活在一个绝对平的世界里。

在物理学中的这种解释,恰恰是和在无穷小范围内欧氏几何式的黎曼空间的观念相似的。

黎曼将二维曲面的球面几何、双曲几何(即罗巴切夫斯基几何)、和欧氏几何,统一在下述黎曼度规表达式中:

公式(2-7-6)中的a,是2维曲面的高斯曲率。

虽然放弃了这个理论,但是这个理论很漂亮,所以有很多不停的改进。

生命的意义绝对不是停滞不前,而是在旅途中不够构建生命的意义。

黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

它特别关注于角度、弧线长度及体积。

为什么漂亮呢?因为用了等效原理,同时能够解释天体的问题。

这时可以借助流形,在欧氏空间中嵌入非欧式低维流形。

所以,无论是学术界还是产业界都把精力放到如何优化深度学习模型的结构和参数优化方面,而端到端的建模方式也使我们不再聚焦特征空间内部究竟发生了什么3。

宇宙飞船以极快的速度(光速的四分之三)飞行。

代数几何的开源贡献19世纪后半叶,人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。

那个函数如今被称为黎曼ζ函数,那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

广义相对论解释:地球并不受引力牵引,而是保持惯性运动,由于太阳的质量使空间弯曲,地球的弯曲轨道根本就是惯性运动轨道,是弯曲时空中的短程线(相当于平直时空的直线。

无挠实际上就意味着空间处处局部等价于平直空间,这一形式的几何是比较实用的,即便要深入了解有挠几何,也需要先深刻了解无挠几何。

例如,书中的例题和习题多次涉及到射影空间到欧氏空间的浸入、嵌入问题,Lobatcheski上半平面到四维欧氏空间的等距浸入存在性问题等,给出了一些其他188体育网教材中不太常见的例题和习题;再如,本书最后讲述Hermitian几何,但重点不在讨论复结构或Kahler结构,而是侧重讨论复结构存在的几何拓扑限制。

此外,188体育网在数学中也是一个重要的工具。

什么叫内蕴,你就理解为,在流形自身上看。

另一方面,使点对D、N不分割点对A、B的点N组成的集合也是线段,它也是以A、B为端点的。

贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性,并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。

图片来源:WikimediaCommons,先从直线说起。

**线段**如何定义呢?如下图所示,可以知道点对C、D分割点对A、B;又在直线l上存在这样的点M,使点对C、M不分割点对A、B;这样的点C、M组成的集合就是线段,它是以A、B为端点的。

这两门课程,在国内算是比较成熟的,大多数理工科专业的学生可能都学过。

因此,188体育网认为在同一平面内任何两条直线都有公共点。

从前面内蕴几何一节中,我们已经知道:根据曲面的第一基本形式,也就是曲面上计算弧长的公式,可以建立起曲面的内蕴几何。

所谓的n维欧氏空间,就是在n维实线性空间V上确定一个双线性函数\\left\\langle\\cdot,\\cdot\\right\\rangle,称为内积,满足1.正定性\\left\\langlex,x\\right\\rangle\\ge0\\left(\\forallx\\inV\\right),且\\left\\langlex,x\\right\\rangle=0的充要条件是x=0;2.对称性\\left\\langlex,y\\right\\rangle=\\left\\langley,x\\right\\rangle\\left(\\forallx,y\\inV\\right).采取张量的语言,就是在V上确定一个正定、对称的二阶协变张量。

通俗来讲,就是我们可能生活在弯曲的空间中,比如一只生活在二维球面的蚂蚁,作为生活在弯曲空间中的个体,我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究,就好比蚂蚁只懂得在球面上爬,不能从三维空间的曲面这一观点来认识球面,因为球面就是它们的世界。

这没问题,能够自圆其说,就是科学。

但在黎曼所处的时代,李群以及拓扑学还没有发展起来,因此188体育网只限于小范围的理论。

**最后再重复一次,本系列文章难以成为独立的188体育网教程,最多也只是现有188体育网教程的一个几何意义的补充,有很多更深入的内容,还需要标准的教材。

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