黎曼几何(王作勤)

8月 9, 2022 No Comments

有了黎曼度量,我们就可以研究这个流形到底是不是弯的?有多弯?我们可以研究上面的直线是什么东西,从而我们可以研究怎么才能最短的从一个点到另一个点。

通过思想的实验,也通过数学的思维,他能够得出这样的结论。

赫尔曼·闵可夫斯基(HermannMinkowski,1864-1909)是出生于俄国的德国数学家,曾经是爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦理工学院读书时的老师。

不容置疑的是那些结果在数学上都是正确的。

这是这一重力的新理论开创初期所取得的重要成就之。

关于非欧几何的更多介绍,详见这里。

直到1954年,杨振宁和米尔斯重新发现数学家的理论可以用到粒子物理,并将外尔理论推广到了非交换规范群。

除了双生子佯谬之外,还有滑梯佯谬、贝尔的飞船佯谬、转盘佯谬等等,以及它们的许许多多变种。

随后这项理论就被物理学摒弃了。

这绝对是一项惊人发现。

维的呢?就是高中折磨了大家很久的解析几何。

黎曼流形上的结构,黎曼张量的代数理论,测地线及其衍生的工具(变分公式与Jacobi场,指数映射与测地坐标系,割点与割迹,指标形式),曲率与拓扑关系(这部分定理都是黎曼几何早期的重要结果),大概这些定理分为这么几类:曲率控制拓扑(Cartan—Hadamard,Bonnet—Myer,Synge,Preissman),比较定理(Rauch,Hessian,Laplacian,Toponogov,Bishop—Gromov),SphereTheorem,最后一部分内容就是整门课的高潮:HodgeTheoryandBochnertech。

说是这么说,但估计你在标准的黎曼几何教材(我们用的是CarmoM.p.的《黎曼几何》英文版)上完全不会看到以上观点——当然,有可能在序言中提及一点,仅此而已。

这个六维空间需要满足爱因斯坦方程,同时他们希望这个时空具有对称性,从而使得量子场论更完美。

图中的圆锥被称为光锥。

ThefirstfourchaptersofthebookpresentthebasicconceptsofRiemannianGeometry(Riemannianmetrics,Riemannianconnections,geodesicsandcurvature).AgoodpartofthestudyofRiemannianGeometryconsistsofunderstandingtherelationshipbetweengeodesicsandcurvature.Jacobifields,anessentialtoolforthisunderstanding,areintroducedinChapter5.InChapter6weintroducethesecondfundamentalformassociatedwithanisometricimmersion,andproveageneralizationoftheTheoremEgregiumofGauss.ThisallowsustorelatethenotionofcurvatureinRiemannianmanifoldstotheclassicalconceptofGaussiancurvatureforsurfaces。

黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想,开展对维流形内蕴性质的研究。

所谓时钟变慢,是一种物理效应,不仅仅是时钟,而是所有与时间有关的过程,诸如植物生长、细胞分裂、原子震荡,还有你的心跳,所有的过程都放慢了脚步。

这个发现发表在爱因斯坦和格罗斯曼于1912年和1913年合写的两篇论文中。

这是一个很重要的事情,希望我们中国的科学家能够努力。

连一个例子都没有被发现。

若从A按顺时针方向沿圆周运动到B,必过点C;从B按顺时针方向到A必经过D。

这就可以规定,点对A、B分割点对C、D,点对A、C和B、D不互相分割。

不仅如此,刚才我们讨论的只是平面曲线,克莱洛也将微积分思想用于空间曲线,定义了挠率的概念,见图1右图。

爱因斯坦方程的成功,起源于对称应用在物理学上的巨大威力。

不久之后,德国的黎曼采用另一条新公理取代第五公设,创建了另一种非欧几何。

凡直角都相等。

克莱洛除了提出双重曲率之外,还指出在一个垂直于曲线切线的平面上,可以有无数多条法线,他同时给出了空间曲线的弧长公式,以及曲面的几个基本概念:长度、切线和双重曲率。

黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例,最终讲清连续与可微的关系。

立刻得出另一命题,相异两条直线确定一点。

但是需要的数学远比线性理论来得复杂,这个复杂性让物理学家在应用规范场论到高能物理上停顿了十多年,因为要将比较非线性的规范场理论量子化是很困难的事情,而没有量子化成功的理论,对解释高能物理的现象没有任何用处。

年7月20日病逝于意大利,终年39岁。

这也是引力理论发展缓慢的一个原因。

令我惊讶的是,卡拉比的观点给了一种简单的将完整而复杂的爱因斯坦方程约化为复流形上更简洁的数量方程的方法。

如Atiyah所说,对几何学家而言,代数就是所谓的浮士德的奉献,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是魔鬼回馈给数学家的礼物,条件是暂时停止用几何的观念考虑问题。

考研

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